Sunday, May 01, 2005

1089: número mágico.

Por que 1089 é considerado um número mágico?

Escolha qualquer número de três algarismos distintos:
por exemplo, 875.

Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297
Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico)

Por que isso acontece?
Tomamos um número de três algarismos distintos, em seguida escrevmo-lo ao contrário obtendo um novo número e, com estes dois valores, realizamos uma subtração onde o minuendo deve ser maior que o subtraendo.
Para decidir qual dos números deve ser maior basta olhar o algarismo das centenas, como os algarismos devem ser distintos nossa subtração sempre será do tipo ABC - CBA onde C é menor que A (faça com alguns exemplos para entender isto melhor). Desta forma, partiremos nossa demonstração deste ponto, pois não importa se, ao escrever o número ao contrário,obtivermos um número maior que o original.
Devido ao nosso sistema de numeração decimal podemos escrever os números como uma soma de parcelas de grandezas de 10ª potência, assim por exemplo, o número 7.659 pode ser expresso como 7x1000+6x100+5x10+9x1, então cada algarismo de 7.659 representa um número diferente de acordo com a posição que ocupa.
Ao realizar a subtração ABC-BCA estamos na realidade operando 100A+10B+C - (100C+10B-A) que no algoritmo fica desta forma:
100A+10B+C -100C+10B+A
Como C10B e as parcelas envolvidas ficam C+10 e 10(B-1)
No próximo passo 10(B-1) - B também devemos tomar "emprestado", desta vez uma centena de 100A e as parcelas envolvidas ficam 10(B-1) + 100 e 100(A-1)
Nossa conta que era da forma:

100A+10B+C
-100C+10B+A

Fica assim:
100(A-1)+10(B-1)+100+C+10
-100C + 10B+ A

100(A-1)-100C+10(B-1)+100
-10B+C+10-A

100(A-C-1)+90+C-A+10

Escrevendo a centena ao contrário:
100(C-A+10)+90+A-C-1
Somando ao resultado anterior:
100(A-C-1)+90+C-A+10 + 100(C-A+10)+90+A-C-1=
=100A-100C-100+90+C-A+10+100C-100A+1000+90+A-C-1=
=1089



1 Comments:

At 11:26 AM, Blogger Jorge Manuel Ferrão Grave said...

demonstração muio confusa!
De qualquer forma, obrigado
Jorge

 

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